KPSS Matematik Soruları Çözümlerinde Kısa Yollar – Pratik Çözümler 1- Tel kesme sorun soruları; *** Tek taraftan kesilirse= Kayma Miktarı: Telin İlk Boyu X Kesilme oranı / 2*** Aynı anda çift taraftan kesilirse= Kayma Miktarı: Telin İlk Boyu X | Kesilmelerin farkı | / 2*** Çift taraftan kesilirse ( kesilip kalandan bir daha kesilirse)=Kayma Miktarı: Telin İlk Boyu X [ilk kesilme oranı – (kalan nispet X ikinci kesilme oranı) ] / 2 2- Kuyruk sorun soruları; *** Kuyrukta en çok kaç kişi (baştan olan önde, sondan olan arkada)=Kuymax: Baştan Sıra (BS) Sondan Sıra (SS) Aradaki Kişi (AK)*** Kuyrukta en az kaç kişi (baştan olan arkada, sondan olan önde)=Kuymin: Baştan Sıra (BS) Sondan Sıra (SS) – Aradaki Kişi (AK) – 2 Kişi*** Kuyrukta kaç kişi (bir kişinin sırasının bilinmesi)=Kuyruk: Baştan Sıra (BS) Sondan Sıra (SS) – 1 (Kendisi) 3- Mum sorun soruları; *** Belli bir saat (yanma) sonrası mumların boylarının oranı=1.Mum boy uzunluk – (saat X saat başı azalan boy) / 2.Mum boy uzunluk – (saat X saat başı azalan boy):Not: Nispet sorulursa yanma sürelerinin okeki bulunur, direk mumların boyu olarak kabul edilir.Not: Nispet kolay kesir verilirse eşitlikte 1. Mum; yanıp bitme süresi uzun olan mumdur.*** Belli bir saat (yanma) sonrası mumların boylarının farkı=1.Mum boy nispet – (saat X saat başı azalan boy) – 2.Mum boy oranı – (saat X saat başı azalan boy):Not: Boy farkı sorulursa yanma sürelerinin okeki bulunur, okekin yanına k, n gibi bilinmeyen konulur.Not: Eşitlikte 1. Mum; yanıp bitme süresi uzun olan mumdur. Aksi takdirde sonuç negatif çıkar. 4- Kitap sayfalarını numaralandırma sorun soruları; *** 2 basamaklı sayfa sayısında sahip kitaplarda; Kullanılan rakam sayısı= 2n-9 (n: sayfa sayısı)*** 3 basamaklı sayfa sayısında sahip kitaplarda; Kullanılan rakam sayısı= 3n-108 (n: sayfa sayısı)*** 4 basamaklı sayfa sayısında sahip kitaplarda; Kullanılan rakam sayısı= 4n-1107 (n: sayfa sayısı) 5- Mehter takımı adım sorun soruları; ** Başladığı yerden uzaklaştığı adım sayısı =Toplam Adım / (İleri adım sayısı art adım sayısı) işleminden çıkan; bölüm=b olsun, kalan=k olsun.[ b X (İleri adım sayısı – art adım sayısı) ] [ ileri adım sayısı – | k – ileri adım sayısı | ] *** Uzaklaştığı adım sayısı / (İleri adım sayısı – art adım sayısı) işleminden çıkan bölüm=b olsun, kalan=k olsun.Uzaklaştığı adım sayısına göre attığı maksimum yekün adım sayısı =[ b X (İleri adım sayısı art adım sayısı) ] – k*** Uzaklaştığı adım sayısı / (İleri adım sayısı – art adım sayısı) işleminden çıkan bölüm=b olsun, kalan=k olsun.Uzaklaştığı adım sayısına göre attığı minimum yekün adım sayısı =[ (b-1) X (İleri adım sayısı art adım sayısı) ] [k (İleri adım sayısı – art adım sayısı)] 6- Doğru-yanlış-nete göre puan sorun soruları;*** Doğru sayısı= D, Yanlış sayısı=Y, Boş sayısı=BToplam Soru Sayısı= D Y (Varsa B)Net sayısı= D – Y / 4 7- Tavuk-tavşan/ kumbara-kuruş-lira sorun soruları; *** tavşan adeti=ş, tavuk adeti=u olsun,Tavşan 4 ayaklı, tavuk 2 ayaklı olduğuna göre; Yekün ayak sayısı= ş.4 u.2; Yekün hayvan sayısı= ş u*** 40 tane bozuk nakit içinden; 50 kuruşluk adet=a, 25 kuruşluk adet= 40-aKumbaradaki tüm bozuk nakit miktarı = a.50 (40-a).25 8- Bakteri / Nilüfer-Bambu bitkisi sorun soruları ; *** Hergün bir önceki gün sayısının n katına çıkan (bölünerek çoğalan) bakterinin ortama bırakılma sayısı m, geçen gün sayısı k olsun.k. gün bakterinin sayısı = m. (n üzeri k)*** Hergün bir önceki gün kadar büyüyen nilüfer bitkisi k. günde bulunduğu göleti tamamen kaplıyorsa;(k-1). gün yarısını, (k-2). gün ¼ ünü kaplar.*** Ancak her gün bir önceki günün 2 katı kadar büyüyorsa (3 katına çıkıyorsa); (k-1). gün 1/3 ünü, (k-2). Gün 1/9 unu kaplar.Dolayısıyla n katı kadar büyüyorsa (n 1katına çıkıyorsa) = (k-1). gün; 1/(n 1), (k-2).gün; 1/(n 1) üzeri 2 9- Şişe-su sorun soruları ; *** Şişe = ş, Su = s olsun. Ş S= X gram, Suyun yarısı dökülürse Ş S/2 = Y Gram ; Ş ya da S yan tarafa toplama/çıkarma yoluyla yok edilir. Sorulan bulunur. 10- İnek-yem, izci-yemek sorun soruları *** a sayıda ineğe x gün yetecek kadar yem olsun. 5 gün sonra 5 inek kesiliyorsa;a ineğe — (x-5) gün yeterse(a-5 ineğe) — ? gün yeter? Aksi orantı ile a.(x-5)=(a-5).? 11- Kalem-defter-silgi / Pantolon-gömlek-kravat sorun soruları *** Kalem:k, defter:d, silgi:s, 2 kalem 3 defter 1 silgi = a TL, 6 kalem 8 defter 4 silgi=b TL ise;1 k 1 s 1 d= a ve b cinsi ?(3 k 4 d 2 s = b/2) – (2k 3d 1s = a) = 1k 1d 1s = b/2 – a, aynı sayılarla çarpılarak veya bölünerek yan tarafa toplama veya çıkarma işlemi ile 1k,1d,1s fiyatına ulaşılabilir. 12- Top zıplama sorun soruları *** h yükseklikten bırakılan bir top, yere her çarpmasından sonra önceki yüksekliğinin a/b si kadar zıplıyor ve tekrar düşüyor ve yere çarpıp yükseliyorsa; n. kere yere çarptıktan sonra ulaştığı yükseklik= h.(a/b) üzeri n*** h yükseklikten bırakılan bir top, yere her çarpmasından sonra önceki yüksekliğinin a/b si kadar zıplıyor ve tekrar düşüyor ve yere çarpıp yükseliyor ve n. kere yere çarptıktan sonra düşeyde aldığı yekün yol soruluyorsa;Düşeyde aldığı yekün yol= h 2. h. (a/b) üzeri 1 2. h. (a/b) üzeri 2 …. 2. h. (a/b) üzeri (n-1) h. (a/b) üzeri n 13- Memur maaş sorun soruları *** Memur maaşı: M, mutfak harcama: MH, fatura harcama: FH, kira harcama: KH olsun.Maaşının 1/6 ini MH’sına, kalanın 1/5 si FH’sına, kalanın 1/4 si KH’sına ayırıyor. Elinde 1.500 TL si kaldı ise;M. (1-1/6). (1-1/5). (1-1/4) = 1.500 TL buradan maaş bulunabilir.M. (1-1/6). (1-1/5). (1/4)= KH ; M. (1-1/6). (1/5)=FH ; M. (1/6)= MH 14- Kitap okuma / gün sayısı sorun soruları *** Kitabın tümünün okunma gün sayısı= Kitabın okunan ilk kısmının sayfası (oranı) / gün başına sayfa Kitabın kalan kısmının sayfası (oranı) / gün başına sayfa 15- Grupça bölüşülen kira/yemek parası sorun soruları *** Kira bedeli: k, gruptaki kişi sayısı: g, gruptan ayrılan veya gruba katılan kişi sayısı: a, kişi başına düşen para: p olsun.k= g. p k= (g-a).px k= g. p k= (g a).py k değerleri birbirine eşitlenir. Burada x ve y: kişi başına düşen paranın değişimini verir. 16- Sıra- artan öğrenci sorun soruları *** Sınıf mevcudu: m, sıra sayısı: s olsun.Sıralara a sayıda öğrenci oturunca b öğrenci ayakta kalırsa m= (s.a) bSıralara x sayıda öğrenci oturunca y sıra boş kalırsa m= (s.x) – (y.x) ; m harfleri birbirine eşitlenir. Sıra sayısı bulunur ve mevcuda ulaşılır.Sıralara 3 öğrenci oturunca 4 öğrenci ayakta kalıyor. Sıralara 4 öğrenci oturunca 1 sıra boş kalıyor, 1 sırada da 1 kişi oturuyor.m= 3s 4 = 4s – 4(sıranın biri tamamen boş) – 3(sıranın birinde 3 kişi yok) 17- Doğrusal fonksiyon/grafik sorun soruları *** f(x)=ax b ise y=ax b dir. X’in 0 olduğundaki Y’yi, Y’nin 0 olduğundaki X’i y=ax b denklemine yazarak 2 denklem oluştur. Sonra a ve b yi yan tarafa yok etme metoduyla bul. Y=AX B denkleminde yerine koyduktan sonra soruda isteneni duruma, şarta göre değeri x’e koyup y’ye yani sonuca ulaş. 18- Gözlüklü, gözlüksüz erkek/bayan öğrenci sorun soruları *** Gl: Gözlüklü, Gs: Gözlüksüz, E:Erkek öğr. , B: Bayan öğr. olsunGl. Gs. E x y B m nTablosu çizilir, başlangıçta sınıfın mevcudu (x y m n) verilir, sonraki verilere göre denklemler (Gözlüksüz öğrenci 17 olduğuna göre y n=17) oluşturulur ve yan tarafa yok etme metoduyla istenene ulaşılır. 19- Erkek öğrencinin erkek, kız öğrencinin kız arkadaşları sorun soruları *** e: erkek öğrenci sayısı, k: kız öğrenci sayısı olsun. Sınıf mevcudu e k dır. Bir erkek öğrencinin erkek öğrenci arkadaş sayısı e-1 (kendi hariç), kız öğrenci arkadaş sayısı k dır. Bir kız öğrencinin kız öğrenci arkadaş sayısı k-1 (kendi hariç), erkek öğrenci arkadaş sayısı e dir.(Bir erkeğin erkek öğrenci arkadaş sayısı, kız arkadaşlarının 2 katından 7 eksik, o sınıftaki bir kız öğrencinin kız öğrenci arkadaş sayısı erkek arkadaşlarının yarısından 3 çok ise; e-1=2k-7, k-1=e/2 3 denklemler bu şekilde oluşturulur) 20- Her gün bir öncekinin katı kadar kitap okuma sorun soruları *** Hergün öncekinin 2 katı (kadar) kitap okursa 1.gün x, 2.gün 2x, 3.gün 4x, 4.gün 8x toplamda x 2x 4x 8x=15x kitap okur. Bu durumda 3.gün 4x, 3.gün sonunda x 2x 4x=7x kitap okumuş olur. (Gün ile gün sonu farklı denklem sonuçları verir)*** Hergün öncekinin 2 katı fazlası (daha, pahalı kelimleri de aynı manaya gelir ki 3 katı anlamındadır) kitap okursa 1.gün x, 2.gün 3x, 3.gün 9x, 4.gün 27x toplamda x 3x 9x 27x=40x kitap okur. Bu durumda 3.gün 9x, 3.gün sonunda x 3x 9x=13x kitap okumuş olur. (Gün ile gün sonu farklı denklem sonuçları verir)*** Hergün öncekinin n katı (kadar) kitap okur ve gün sayısı çok verilirse 1.gün x, 2.gün nx, 3.gün nkarex, 4.gün nküpx dolayısıya 9.gün n üzeri 8 (9-1) . x kadar kitap okumuştur. 21- Merdiven-adım sorun soruları *** Merdiven basamak sayısı: m, adım sayısı: a olsun. 2’şer çıkarsa m/2=a (çıkarken attığı adım sayısı), 3’er inerse m/3=a (inerken attığı adım sayısı) 22- Gazoz kapağına gazoz armağan sorun soruları *** Yekün gazoz kapak sayısı: k, 5 kapağa da 1 gazoz armağan olsun.k/5(kaç kapağa 1 gazoz armağan edildiyse) işleminden bölüm ve kalan toplanır, tekrar 5’e bölünür; bölüm ve kalan toplanır tekrar 5’e bölünür, bölüm kalan 5’e bölünemez duruma gelene kadar işlemler tekrarlanır. Tüm bölümler toplanır ve en son kalan eklenir. Bulunan sonuç kaç gazoz alabileceğidir. 23- Taksimetre / Telefon kontör sorun soruları *** Yekün ücret: T, açılış ücreti: a, her km’de (her dakikada) oluşan ücret: ü, km (dakika) :k olsun. (İki farklı km.li yolculuk verilir, açılış ücreti veya başka bir km. deki yekün ücret sorulur) T= a k.ü denklemi verilen iki yolculuğa göre de yazılır, yan tarafa yok edilerek sonuca ulaşılır. 24- Bir kesrin pay ve paydasına sayı ekleme sorun soruları *** Kesrin pay/payda: a/b olsun, kesrin değeri ax/bx olur.Paya eklenen sayı m, paydaya eklenen n, kesrin son değeri e/f olsun.ax m / bx n = e/f şeklinde çözülür. 25- Yaş sorun soruları *** Yaş problemleri çoğunlukla yan tarafa yok etme veya yerine koyma metoduyla çözülen 2 denklemden oluşur. Denklemler birbirinden bağımsızdır. İlk denklem kişilerin yaşları arasında oranfazlalık vb. özellikler vererek tanıtım yapar. İkinci denklem ise yıl sonra, yıl önce, birbirlerinin yaşına geldiğinde vb. özelliklerle oluşturulur.*** Babanın yaşı kızının yaşının 3 katından 1 noksan ise: B= 3K – 1, 6 yıl sonra babanın yaşı kızının yaşının 2 katından 8 çok ise: B 6= 2(K 6) 8 / (Her ikisi de 6 yaş büyür)  6 yıl sonra babanın yaşı kınının şimdiki yaşının 4 katından 10 noksan ise: B 6= 4K – 10 / (Sadece baba 6 yaş büyür)  Kızı babanın yaşına geldiğinde; K—-B , B—- B (B-K) baba, aradaki yaş farkı kadar büyür.  Baba kızının yaşında iken; B—-K, K—-K-(B-K) kız, aradaki yaş farkı kadar küçülür.*** Kemal’in yaşı K, Mustafa’nın yaşı M, K>M olsun Kemal 2 yıl önce doğmuş olsaydı: K 2; Mustafa 3 yıl sonra doğmuş olsaydı: M-3  Mustafa doğduğunda Kemal: K-M yaşındaydı  Kemal, Mustafa’nın yaşındayken Mustafa’nın doğmasına 4 yıl varsa: K—- M, M—- M- (KM)=-4 (Kemal Mustafa’nın yaşındayken, Mustafa’da aradaki yaş farkı kadar küçülür. Doğmasına da 4 yıl varsa -4 yaşındadır)  Yaşları farkı F, yaşları toplamı T olsun. 3 yıl önceki yaşları toplamı T=M K 3 3, yaşları farkı F değişmez.*** Annenin yaşı 3 oğlunun yaşları toplamının 2 katı ise: A=2T, 4 yıl önce annenin yaşı oğullarının yaşları toplamının 5 katından 2 çok ise: A-4= 5(T-12) 2 / (Anne 4 yaş küçülürken, oğullarının yaş toplamı 12 azalır)  4 yıl önce annenin yaşı oğullarının şimdiki yaşları toplamından 14 çok ise: A-4= T 14 / (Anne 4 yaş küçülürken, oğullarının yaş toplamı değişmez)  Oğulların yaş toplamı annelerinin yaşına geldiğinde; annenin yaşı=2T, oğulları yaşları toplamı=T olduğuna göre T— 2T olduğunda, 2T olan ebeveyn ise — 2T (2T-T)/3 (üç çocuk yaş toplamı 3k artarsa, ebeveyn 1k artar; o yüzden ebeveyn toplamla(T) aradaki yaş farkının 1/3 ü kadar büyür.)  Çocuklar 3er yıl ara ile doğmuşsa yaşları n, n 3, n 6 kabul edilebilir. En büyük çocuk en az kaç yaşında diye sorulur ise çocukların yaşları toplamı 3 çocuk sayısına bölünür ve ardışık (birbirine yakın) yapmaya çalışılır.*** Doğum tarihinin yer aldığı sorularda; Dt: doğum tarihi (19ab), bulunulan yıl (konuşmanın geçtiği yıl): By, yaş: Y olsun.Y=By-Dt dir. Bir kişinin 2000 yılındaki yaşı, doğum tarihinin rakamlarına eşitse; 2000-19ab=1 9 a b; 2000-(1900 10a b)=10 a b den çözülür. 26- Devinim sorun soruları *** Genel Denklem: X=V.t ; X=yol (km-m); V=hız (km/sa – m/dak – m/sn) , t=zaman (sa – dak – sn)*** 1 m/sn=3,6 km/sa eşitliği ünite çevirmeli sorularda çok işe yarar.*** iki araç farklı kentlerden zıt yönde (birbirlerine doğru manasına gelir) devinim ederse; X= (V1 V2).t*** iki araç farklı kentlerden aynı yönde (hızlı olanın yavaşı yakalaması) devinim ederse; X= (V1-V2).t (V1>V2)*** iki hareketli dairesel bir pist içinde aynı yerden zıt yönde (birbirlerine doğru manasına gelir) devinim ederse; X= (V1 V2).t burada bulunan X=Çevre=2.pi.r dir. Bu tip sorularda n. kez karşılaşma süreleri sorulabilir.*** iki hareketli dairesel bir pist içinde aynı yerden aynı yönde (hızlı olanın yavaş olana tur bindirmesi) devinim ederse; X= (V1-V2).t burada bulunan X=Çevre=2.pi.r dir. Bu tip sorularda n. kez yan yana gelme süreleri sorulabilir. Her yan yana geldiklerinde hızı V1 olan hızlı araç diğerine bir tur bindirir.*** A-B arasında yolculuk eden V hızındaki hareketli a km/sa daha hızlı devinim etseydi, A-B arası x m. mesafeyi b saat daha erken alacaktı ise; X=V.t=(V a).(t-b) iki denklem birbiriyle eşitlenir ve sonuca ulaşılır.*** X=V.t ; X ile V, X ile t doğru orantılı iken; V ile t aksi orantılıdır. Gidilecek yere ne kadar hızlı gidilirse o kadar az sürede ulaşılır. Sabit bir sürede ne kadar hızlı yolculuk yaparsan, o kadar çok yol alırsın. Sabit bir hızla ne kadar çok süre yol alırsan, o kadar çok yol yaparsın.*** Rüzgarın hızı Vr, uçağın hızı Vu olsun. Rüzgara karşı yolculuk yapılıyorsa X= (Vu-Vr).t , rüzgarla aynı yönde yolculuk yapılıyorsaX= (Vu Vr).t*** Akıntınız hızı Va, yüzücünün hızı Vy olsun. Akıntıyla aynı yönde karşı kıyıya gidip, tekrar ilk kıyıya gelen yüzücü; X=(Vy Va).t denklemi ile gider, X=(Vy-Va).t denklemi ile döner. (Akıntınız hızı sabit ve sürekli aynı yönde). Gidiş süresi t1, dönüş süresi t2 olsun. t1<t2 olur.*** Tren-tünel-tünele ara sorularında m/dak, m/sn, km/sa ünite çevirmelerine dikkat edilmesi gerekir. Trenin boyu:b, tünelin boyu:n, tünele olan mesafe:m ve trenin hızı Vt olsun. Tren tünelin girişindeyse (henüz girmemişse): m=Vt. T  Tren tünele tamamen girmişse (trenin en arkası tünelin girişindeyse): m b=Vt.t  Tren tünelden tamamen çıkmışsa (trenin en arkası trenin çıkışındaysa): m b n=Vt.t*** Atlet-yarış sorularında birimler genelde m/dak veya m/sn verilir, dikkat edilmesi gerekir. 1., 2. Ve 3. Koşucuların yarışın belli bir anındaki aldıkları yollar, kendi hızlarıyla doğru orantılıdır. Aynı sürede bulundukları noktaya gelmiş olmaları ve yarıştaki hızlarını değiştirmedikleri için 1. 600m, 2. 400m, 3. Yarışçi 100m yol almışsa hızları sırasıyla 6v, 4v ve v dir. 1. Yarışı bitirmesine 300m ara var ve 6v hızla 300m. alır ise 2. Yarışçı 4v hızla 200m., 3. Yarışçı v hızla 50m. yol alır.*** Ortalama hız (Vort)= Yekün yol (x) / Yekün vakit (t)  Yolun bir kısmındaki (gidişteki) hızı Va, diğer eşim ola yoldaki (dönüşteki) hızı Vb olsun. Gidip dönülen yollar eşitse, gidilen parça yollar eşitse: Vort= 2. Va. Vb / Va Vb (harmonik ortalama)  Süreler eşitse: Vort= Va Vb/2 (aritmetik ortalama)*** Birbirlerine doğru (zıt yönde) devinim eden iki aracın karşılaşıp birbirini geçmesi için iki aracın toplamda kendi boylarının toplamı kadar yol alması gerekmektedir.*** Aynı yönde devinim eden iki araçtan hızlı olanın yavaşı yakalayıp geçmesi için hızlı aracın toplamda kendi boyları ile yavaş olanın aldığı mesafenin toplamı kadar yol alması gerekmektedir.*** Bir araç A-B arasını gidişte Va hızıyla, dönüşte B-A arasını Vb hızıyla alıyor ve yekün yolculuk T kadar süre oluyorsa; Va ile Vb sadeleşebiliyorsa sadeleştirilir, Va’nın yanına k konur ve bu dönüşün süresini, Vb’nin yanına k konur ve bu da gidişin süresini verir (ters orantı yapılır). İki tane k’lı anlatım toplanıp T’ye(toplam süreye) eşitlenir. K bulunur ve böylece A-B arası ara bulunmuş olur. Diğer yol ise Vort= 2.Va.Vb / Va Vb ile bulunur. Sonra X=Vort.t dan X bulunur ve 2ye bölünerek AB arasına ulaşılır.*** Va ve Vb hızlarında iki araç aralarında x m. ara olan farklı noktalardan (A ve B kentlerinden) zıt yönde (birbirlerine doğru) hareketlerinden t saat sonra C noktasında karşılaşıyorlar ve yollarına devam ediyorlar. A’dan gelen hızlı araç karşılaşmadan derhal sonra B’ye kadar gidiyor ve B’den yola çıkan yavaş hareketliyi A’ya y m. ara kala yakalıyorsa;Hızlı hareketlinin aldığı yekün yol x (x-y); yavaş olanın aldığı yekün yol (x-y) buna göre doğru orantı ile Va ve Vb kullanılarak hesaplanır.*** A’dan B’ye yola çıkan bir hareketli yolun 1/4ünde V hızıyla, kalanın 1/3ünde 2V hızıyla, kalan kısımda da son hızını 2 kat artırarak devinim ediyorsa; Yol 4x ise 1/4ü x, kalan 3x’in 1/3 ü de x, son kalan ise 2x tir. İlk x lik kısımda (X=V.t ile) süre t bulunur), ikinci x lik kısımda (X=2V.t ile) süre t/2 bulunur. Son kalan 2x lik kısımda hız 2V 4V=6v olmuştur ve (2X=6V.t ile) süre t/3 bulunur. Hız 1/5 oranında artırılırsa; [1 (1/5)]=6/5 bulduktan sonra aksi çevir, süre ile çarp. Geçen süre t.5/6 olur. (Ters orantı) Hız 2/7 oranında azaltılırsa; [1-(2/7)]=5/7 bulduktan sonra aksi çevir, süre ile çarp. Geçen süre t.7/5 olur. (Ters orantı)27- İşçi-havuz sorun soruları*** Genel denklem: t/A t/B t/C=1t: birlikte çalıştıkları (aynı iş üzerinde harcadıkları) süre, A: Birinci işçinin tek başına bitirme süresi (kapasitesi),B: İkinci işçinin tek başına bitirme süresi (kapasitesi), C: Üçüncü işçinin tek başına bitirme süresi (kapasitesi),10Eşitliğin sağındaki 1: İş bitmiş (beraber çalışılırken işin 1/3 ü bitmişse 1/3, işin 2/5’i kalmışsa 3/5’i bitmiştir ve 3/5 yazılır) Genel denklemdeki A, B veya C ne kadar küçük bir değerse o işçi o kadar kapasitelidir (hızlıdır) A, B ve C eşit kapasiteli üç işçi ise hepsine x gibi aynı değer verilebilir. A’nın kapasitesi B’nin üç katı, C’nin yarısı kadar ise en hızlı (en kapasiteli) C’dir. Dolayısıyla C’den değer vermeye başlanır. C’ye x, ikinci kapasiteli A’ya 2x, en yavaş B’ye ise 6x verilir. (ters orantı) Önceki maddedeki verilere göre A işçisi kapasitesini oranında artırırsa (0 ile toplanır=0 ye ulaşılır ve aksi çevrilir, A’nın kapasitesi olan 2x ile çarpılır) 2x.100/120 ile yeni kapasite bulunur. (ters orantı) Önceki maddedeki verilere göre B işçisi kapasitesini oranında azaltırsa (0’den çıkarılır=€ ye ulaşılır ve aksi çevrilir, B’nın kapasitesi olan 6x ile çarpılır) 6x.100/80 ile yeni kapasite bulunur. (ters orantı) A,B ve C işçileri birlikte işe başlamış ve işin 3 katını bitirmişlerse; t/A t/B t/C = 3 denklemi çözüme götürür. A,B ve C işçileri birer gün ara ile başlamış ve bitirmişlerse; (t 2)/A (t 1)/B t/C = 1 denklemi çözüme götürür. A,B ve C işçileri ikişer gün ara ile başlamış ve 8 gün de yarısını bitirmişlerse; 8/A 6/B 4/C = 1/2 denklemi çözüme götürür. İşe ilk başlayanın veya işten hiç ayrılmayanın iş için harcamış olduğu süre işin bitiş süresidir. A,B ve C işçileri birlikte işe başladıktan 2 saat sonra B, bundan 3 saat sonrada C işten ayrılmış ve art kalan işi A bitirmişse; (2 3 x)/A (2)/B (2 3)/C = 1 denklemi çözüme götürür. Bu denklemde x: geriye kalan işin bitme süresi, (2 3 x) ise işin hepsinin bitme süresidir. Kapasiteleri eşit n sayıda işçi varsa kapasitesi yüksek tek bir işçiye dönüştürülebilir. t/x t/x …. t/x=1 yerine t/ (x/n) =1 yazılabilir. (ters orantı: 1 kişi 1 işi 10 saatte yaparsa, 5 kişi (ilk kişi ile eşit güçte) o işi 10/5=2 saatte yapar) Usta-kalfa sorularında; üstat sayısı gün ile çarpılır ve 1 ustanın o işi bitirme günü, çırak sayısı gün ile çarpılır ve 1 çırağın o işi bitirme günü bulunur. Sonra bulunan günler ve yapılan işler doğru orantı ile eşitlenir. Böylece 1usta ile 1kalfanın eşitlenmiş günde yaptığı yekün iş ve soruda sorulan yekün iş doğru orantı ile yekün gün sayısı bulunmuş olur.1*** Genel denklem: t/A t/B t/C=1 Havuz problemlerinde; t: muslukların birlikte açık kaldıkları süre, A: Birinci musluğun boş havuzu tek başına doldurma süresi (kapasitesi), B: İkinci musluğun boş havuzu tek başına doldurma süresi (kapasitesi), C: Üçüncü musluğun dolu havuzu kendi seviyesine kadar tek başına boşaltma süresi (kapasitesi), Eşitliğin sağındaki 1: Havuz dolmuş (beraber açıldıktan sonra işin 1/3 ü bitmişse 1/3, havuzun 2/5’i boş kalmışsa 3/5’i dolmuştur ve 3/5 yazılır) 28- Karışım sorun soruları *** Genel Denklem: Çözünen madde miktarı (gr) / Yekün Karışım (gr) = x / 100** Çözünen madde (genelde tuz, şeker veya alkol) mikarı: ç, yekün karışım: k olsun. Karışımın %x i tuz ise: k.(x/100) / k denklemi ile soru çözülmeye başlanır.  Karışımın %y si su ise: k.(100-y)/100 / k denklemi ile soru çözülmeye başlanır.Not: Soruda su da verilmiş olsa, pay kısmına daima tuz, şeker veya alkol miktarını yazıyoruz. Karışımda a gr su, b gr tuz var ise b / (a b) = x / 100 denklemi tuz yüzdesini verir.  Karışımda a gr su, b gr tuz var ise a / (a b) = x / 100 denklemi su yüzdesini verir.Not: Soruda su yüzdesi bile sorulsa denklem tuz, şeker veya alkole göre (pay kısmına yazılanlar) çözülür, bulunan sonuç 0’den çıkarılır ve sonuca ulaşılır. A gr lık karışımın si şekerdir. Karışıma x gr şeker eklenirse; A. (20/100) x / A x şeker miktarı hem paya, hem paydaya eklenir.  A gr lık karışımın si şekerdir. Karışıma x gr su eklenirse; A. (20/100) / A x su miktarı sadece paydaya eklenir.  A gr lık karışımın si şekerdir. Karışımdan x gr su buharlaştırılırsa; A. (20/100) / A-x buharlaşan sadece su olacağı için sadece paydadan çıkarılır.  A gr lık karışımın si şekerdir. Karışıma x gr şeker, y gr su eklenirse; A. (20/100) x / A x y şeker miktarı hem paya, hem paydaya, su sadece paydaya eklenir.  A gr lık karışımda x gr tuz vardır. Bu karışım ¼ ü dökülürse; (x – (x/4)) / (A- (A/4)) hem tuzun, hem de yekün karışımın ¼ ü eksiltilir.** 300 gr lık karışımda 90 gr tuz vardır. Bu karışım 1/3 ü dökülür ve dökülen miktar kadar yerine; Tuz konursa; 90-30 100 / 300-100 100 (dökülen miktar 100 gr. dır. 100gr tuz hem paya hem paydaya eklenir.  Su konursa; 90-30 / 300-100 100 (dökülen miktar 100 gr. dır. 100gr su sadece paydaya eklenir.) si tuz olan karışım eklenirse; 90-30 20 / 300-100 100 (dökülen miktar 100 gr. dır. 100gr karışımın si yani 20gramı tuzdur ve karışım paydaya, tuz paya eklenir.)** A gr. karışımda x gr tuz, B gr. karışımda y gr tuz vardır. İki karışım bir kapta karıştırılırsa; x y / A B = ? / 100 ** A gr. karışımda x gr tuz, B gr. karışımda y gr tuz vardır. A gr karışımın 1/3 ü, B gr karışımın 1/4 ü başka bir kapta iki karışım karıştırılırsa; (x.1/3 y.1/4) / (A/3 B/4) = ? / 100** 200 gr. A karışımında 40gr tuz, 300 gr. karışımda 30 gr tuz vardır. A gr. karışımın yarısı B’ye dökülüp karıştırıldıktan sonra, B karışımının 1/5 ü A’ya dökülürse;A= 40-20 / 200-100yani 20/100 —- B= 30 20 / 300 100 yani 50 / 400’in 1/5i 10/80 A’ya dökülecek 20 10 / 100 80= 30 / 180 = ? / 100** Karışım problemlerinin genelinde Ş üzerinden gidilirken altın ayar sorularında 24 üzerinden, gümüş ayar sorularında 1000 üzerinden hesaplanır. A gr ziynet eşyasında x gr saf altın varsa; x/A = ? / 24 denklemiyle ayarı bulunabilir.  Y ayar ziynet eşyası B gram ise; y/24 = ? / B denklemiyle ziynet eşyasında saf altın gramı bulunabilir.  İçerisinde x gr. saf altın olan A gr. ziynet eşyasına y gr saf altın katılırsa; x y / A y = ? / 24 son ayar bulunabilir.** Farklı eder ve ağırlıklarda alınıp karıştırılan ürünlerin satılması; Her farklı ürünün eder ve kiloları çarpılır ve en son hepsi toplandıktan sonra yekün kiloya bölünerek ortalama eder bulunabilir.1- Yüzde-Kar/Zarar sorun soruları Bir sayının si; x.20/100  Hangi sayının 0 unun @ı; x.(30./100).(40/100)  Bir sayının %i ile 5inin toplamı; x.(25/100) x.(35/100)  Hangi sayının Ei ile inin farkı; x.(45/100) – x(15/100)  Bir sayının fazlası; x x.(20/100) kısaca x.(120/100)  Hangi sayının  eksiği; x – x(10/100) kısaca x.(90/100)  Bir sayının % eksiğinin  fazlası; x.(75/100).(115/100)  Hangi sayının 0 fazlası ile eksiğinin farkı; x.(130/100) – x.(80/100)  Bir sayının  fazlasının sinin 0eksiği; x.(110/100).(20/100).(70/100)  Cepteki para: p olsun. Cepteki paranın (maaşın) si harcanıyor, kalanın %i harcanıyor, kalanın i harcanıyor ve x TL kalıyorsa; p.(80/100).(75/100).(85/100)=x buradan p bulunabilir.  A sayısı artarak B olmuşsa; B-A / A = ? / 100 (yüzde artışı verir)  A sayısı azalarak B olmuşsa; A-B / A= ? / 100 (yüzde azalışı verir)  A sayısı B sayısından % kaç fazladır: A – B / B (Pay kısmına her vakit büyük sayı – küçük sayı; payda kısmına –dan, -den eki veya göre kelimesi almış; karşılaştırmada baz alınan sayı yazılır)  B sayısı A sayısından % kaç fazladır: B – A / A (Pay kısmına her vakit büyük sayı – küçük sayı; payda kısmına –dan, -den eki veya göre kelimesi almış; karşılaştırmada baz alınan sayı yazılır)  A’nın %x i B’nin kaçıdır: A.(x/100)=B.(?/100) A sayısı B’nin % kaçıdır: A=B.(?/100)  A sayısı B’nin % kaç fazlasıdır: A=B.[(100 x)/100] : x direk cevabı verir.  A sayısı B’nin % kaç eksiğidir: A=B.[(100-x)/100] : x direk cevabı verir.  A sayısının % x i: A x ile çarpılır sonra 100’e bölünür.  % x i A olan sayı: A x’e bölünür sonra 100 ile çarpılır.  % x i A olan sayının % y si: (bu sayıya B diyelim) B.(x/100)=A bu denklem ile B sayısı bulunur ve B.(y/100) denklemi ile sonuca ulaşılır.** Buğday-un-hamur sorun sorularında (Buğday:B olsun) ; Buğdayın %x inden un, unun %y sinden hamur elde ediliyorsa A gram hamur elde edebilmek için: B.(x/100).(y/100)=A denklemi ile buğdayın ağırlığına ulaşılabilir.** Erkek-kız öğrenci sorun sorularında erkek sayısı: e, kız sayısı: k olsun. Sınıfın %x’i erkekse Kız sayısının sınıfa oranı: (100-x) / 100, kız sayısının erkek sayısına oranı: (100-x) / x  dışarıdan a sayıda kız gelirse; (e k): sınıf mevcudu demektir. (e k). (x/100) / (e k) a (erkek yüzdesi üzerinden gidilirse dışarıdan gelen kız sayısı sadece paydaya yani yekün mevcuda eklenir)  dışarıdan b sayıda erkek gelirse: (e k). (x/100) b / (e k) b (erkek yüzdesi üzerinden gidilirse dışarıdan gelen erkek sayısı hem paya yani erkek mevcuduna hem de paydaya yani tüm mevcuda eklenir)** Erkek-kız öğrenci sorun sorularında erkek sayısı: e, kız sayısı: k olsun. Sınıfın %a dan fazlası kız ise; Kız sayısı en az; (e k).(a/100) 1 dir.  Erkek sayısı en fazla; (e k). [(100-a)/100]-1 dır.** Erkek-kız öğrenci sorun sorularında erkek sayısı: e, kız sayısı: k olsun. Sınıfın E’i kız ise; Kız oranı: E, erkek oranı: U dir. Dolayısıyla 45 ve 55 in oranlanıp sadeleşmesinden k=9m, e:11m çıkar. Buna göre kız öğrenci sayısı kesinlikle 9’un katı, erkek öğrenci sayısı 11’in katı bir sayı olacaktır. Yekün mevcutta (9m 11m=20m) 20nin katı bir sayı olacaktır.  Yukarıdaki verilere (e k)=20m olduğuna göre buradan m bulunur ve 9 la çarpılarsa k’ya ulaşılır.  Yukarıdaki verilere göre (e k) yani yekün var 600’dan çok ise; 20nin katı olan 600’den çok olan ilk sayıya ulaşılır. Bulunan 620 sayısı 20ye bölünür m sayısı yani 31 bulunur. 11 ile çarpılarak minimum erkek sayısı 341’e ulaşılır.** Lastik sündürme (boy uzatma) sorun sorularında; x cm uzunluğundaki lastiğin boyu çekildiğinde 0 uzuyor ve A cm oluyorsa:x. (100 130) / 100 = A bu denklem ile lastiğin ilk boyuna ulaşılabilir.** Kapasite (güç) ile süre, fire (üzüm-sabun kuruma / yumurta kırılma) ile maliyet vb. aksi orantılı sorun sorularında; Kapasite (ya da kişi sayısı) %x oranında artarsa [(100 x)/100] yeni oluşan süre (ilk süre: t olsun) için: t. [100 / (100 x)) … (ters çevir çarp tekniği)  Kapasite (ya da kişi sayısı) %x oranında azalırsa [(100-x)/100] yeni oluşan süre (ilk süre: t olsun) için: t. [100 / (100-x)] … (ters çevir çarp tekniği) Yumurtanın %x i kırılırsa (yaş üzümün %x i kurursa) yumurtanın ilk maliyeti (m olsun) satış durumuna göre değişir (fire olduğu için maliyette cepten artı nakit olarak çıkmasa da satış durumuna göre maliyet artmıştır) Yani oluşan maliyet: m. [100 / (100-x)] … (ters çevir çarp tekniği) Çok nadiren çıkan süte su ekleme sorun soruları firenin tam tersidir. Süte sütün %x i kadar su katılırsa sütün ilk maliyeti (m olsun) satış durumuna göre değişir (ekleme olduğu için maliyette cepten eksi nakit olarak çıkmasa da satış durumuna göre maliyet azalmıştır) Yani oluşan maliyet: m. [100 / (100 x)] … (ters çevir çarp tekniği)** Ticaret; Alış fiyatı Gider = Maliyet fiyatı Kar = Etiket fiyatı – İndirim = Satış fiyatıMaliyet: m, etiket fiyatı: e, satış fiyatı: s olsun. Maliyete %x kar yapılırsa: m. (100 x) /100= s (veya e) Maliyetten %x ziyan yapılırsa: m. (100-x) / 100 = s (veya e Etiket üzerinden (satış üzerinden) %x kar yapılırsa: e.(100 x) / 100 = s Etiket üzerinden (satış üzerinden) %x ziyan yapılırsa: e.(100-x) / 100 = s Satışa göre %x kar yapılırsa: s. (100-x) / 100 = m (kar olunca Şn çıkarılır) Satışa göre %x ziyan yapılırsa: s. (100 x) / 100 = m (zarar olunca %ye eklenir) Maliyete %x kar yapıldıktan sonra (o eder üzerinden) %y indirim yapılırsa: m. [(100 x)/100] . [(100-y)/100] = s Etikete %x zam yapıldıktan sonra tekrar %y zam yapılırsa: e. [(100 x)/100] . [(100 y)/100] = s Etikete %x zam yapıldığında maliyet üzerinden %y kar ediliyorsa: e. [(100 x)/100] = m. [(100 y)/100]  Satıştan (satış üzerinden) %x indirim yapıldığında maliyet üzerinden %y ziyan ediliyorsa: s. [(100-x)/100] = m. [(100-y)/100] ** X e alınmış Y’ye satılmış ise; X < Y ise kar edilmiştir. % Kar oranı= (Y-X) / X = (? / 100) … paydada maliyet (alış) olur.  X > Y ise ziyan edilmiştir. % Ziyan oranı= (X-Y) / X = (? /100) … paydada maliyet (alış) olur. **Enflasyon/maaş sorun sorularında;Enflasyon: ise, maaşlara 2 zam yapılıyorsa (enflasyon: ekmek fiyatına zam olsun. ekmek fiyatı: 100); (maaş:100) 100. (120/100) = 120 (ekmeğin zamlı fiyatı); 100. (132/100) = 132 (zamlı maaş) Zamlı maaş > Ekmeğin zamlı fiyatı ise memurun alım gücü artar. Artış oranı= 132-120 / 120 (paydada her vakit ekmeğin fiyatı yani enflasyonlu eder olacak)Not: Enflasyon oranı maaşa zam oranından büyükse memurun alım gücü azalır. Bu durumda‘’ (enflasyonlu eder – zamlı maaş) / enflasyonlu eder (yine) ‘’** Fiyatları düşürünce müşterinin arttığı sorun sorularında;Birim fiyatı 100, müşteri sayısını 100 kabul edelim. Fiyatları % düşürünce müşteri sayısı @ artıyorsa;100.100 —- 75.140 = 10.000 TL —- 10.500 TL oluyor. %5 kar