Kpss Önlisans Matematik Püf Noktaları Kural 1 İki basamaklı ve 5 ile başlayan sayıların karesi Birler basamağı ile 25 sayısı toplanarak yanıt bulunur. Örnek1: 562 = 25 36= 61 Örnek2: 512 = 25 01= 26 Kural 2 Birler basamağındaki sayıları 1 olan 2 basamaklı 2 sayının çarpımı a1 * b1 = a * b | a b | 1 Sağdan sola doğru önce 1 sonra bu iki sayının onlar basamağındaki sayıların toplamını, sonra da çarpımını yazarız. a b> 9 olursa 1 elde olarak geçer. Örnek1: 31 * 61 = 3 * 6 | 3 6 | 1 = 1891 Örnek2: 91 * 71 = 9 * 7 | 9 7 | 1 = 9 * 7 | 16 | 1 = 6461 Kural 3 Sonu sıfırla biten sayıların çarpımı Örnek1: 20 ile 300′ü çarpmanız gerektiğini düşünelim. İlk önce sıfırları dikkate almayın. 2*3 işleminden 6 elde edilir. Şimdi 6′nın arkasına dikkate almadığımız sıfırları ekleyin böylece sonuç 6000 çıkar. Örnek2: 70*70 işlemini yapalım. Bunun için başta 7*7′i çarpıp 49′u yazar ve arkasına 2 tane 0 ekleyerek sonucu 4900 buluruz. Kural 4101, 1001, 10001, vb. bir sayı ile, bu sayıdan bir basamak küçük bir sayının çarpımı Bunun için sayıyı yan yana 2 kere yazmak yeterlidir. Örnekler: 101 * 68 = 6868 1001 * 752 = 752752 10001 * 4605 = 46054605 Kural 5 Bir sayının 25 ile çarpımı A * 25 = A * 100/4 Bir sayıyı 25 ile çarpmak için önce o sayıyı 4 e böler, sonra 100 ile çarparız. Sayı tam olarak dörde bölünürse, bölümün arkasına iki sıfır konur, tam olarak bölünmeyip: 1 artarsa bölümün sonuna 25 yazılır 2 artarsa bölümün sonuna 50 yazılır 3 artarsa bölümün sonuna 75 yazılır. Görüldüğü gibi bölümün sonuna artan sayının 25 katı yazılıyor. 48 * 25 = 48/4 * 100 48/4 = 12 fiyat ve arkasına 2 sıfır yazarak 1200 buluruz. Örnek2: 241 * 25 =? 241/4 = 60 buluruz ve 1 artar. Bu yüzden sonuna 25 yazarız. Sonuç 6025 olur. Örnek3: 1642 * 25 =? 1642/4 = 410 ve artan 2 dir. 410′un sonuna 50 yazarız ve sonuç 41050 olur. Kural 6 İki basamaklı bir sayının karesi (ba)2 = b2 | 2ab | a2 Bu bize (b a)2 sinin açılımı olan b2 2ab a2 yi anımsatmaktadır, sadece aradaki toplama işaretleri ortadan kalkmıştır. Altı çizili sayılar elde olarak alınacaktır. Örnek1: 312 = 32 | 2*3*1 | 12 = 9 | 6 | 1= 961 Örnek2: 762 = 72 | 2*7*6 | 62 49 | 84 3 | 6 49 | 87 | 6 49 8 | 7 | 6 5776 Kural 7 A gibi bir sayıya göre simetrik iki sayının çarpımı A gibi bir sayıdan ±B kadar önce ve sonra gelen iki sayının çarpımı A2- B2 ye eşittir. Örnekler: 808 * 793 = 800- 72 = 64000- 49 = 639951 525 * 475 = 5002- 252 = 25000- 625 = 249375 Not: Bu çıkarma işlemini şu şekilde pratik yoldan yapabiliriz. Sıfırlardan sağdan ilkini (1’ler basamağındakini) 10 diğerlerini 9 olarak düşünürüz ve sola doğru sıfırlardan sonraki ilk rakamdan 1 çıkarırız. Kural 8 501 ile 999 arasındaki sayıların karesini bulma 999′un karesini bulalım hesap makinesinde yaparsak sonuç 998001 çıkacaktır. Biz bunu zihinden yapmak istersek 999′un 1000′den kaç noksan olduğunu bulacağız. 999, 1000′den 1 noksan o halde 1*1=1 yani 1000′den kaç eksikse o sayının karesini alıyoruz sonra 999′dan 1 çıkarıyoruz 999- 1=998. Bulduğumuz sayının yanına 3 tane 0 koyuyoruz. 998000 oldu. Sayımızın 1000′den kaç noksan oyduğunu bulmuştuk ve karesini almıştık. Bunu da sonra topluyoruz 998000 1=998001 işte sonucu zihinden bulduk (not: 1′in karesini aldık aynı şeyi 997 üzerine yapsaydık 3*3=9 alacaktık). Kural 9 Aralarında 2 ayrım bulunan sayıların çarpımı Bunun için sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bir eksiğini alırız. Örneğin 19 ile 21 i çarpmak için 20*20-1 işlemini yapar ve sonucu 399 olarak buluruz. Aralarında 4 ayrım bulunan sayıların çarpımını bulmak için ise sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bu sefer dört eksiğini alırız. Örneğin 13 ile 9 u çarpmak için 11*11-4 işlemini yapar ve sonucu 117 olarak buluruz. Kural 10 11 ile çarpmaSayımız kaç basamaklı olursa olsun 11 ile çarpmak için birler basamağını yazıp, daha sonra sola doğru ikişer ikişer sayıların toplamıyla sonuca ulaşabiliriz. Örnek1:12*11=?1 /1 2 / 21 3 2Buradan 12*11= 132 Örnek2:123 * 11 = ?1 / 1 2 / 2 3 / 31 3 5 3Buradan 123 x 11 = 1353. Örnek3:2134 * 11=?2 / 2 1 / 1 3 / 3 4 / 42 3 4 7 4Buradan 2134 x 11 = 23474. Kural 11 100 den büyük ve 100 e yakın iki sayının çarpımı Örnek1: 109*104 çarpımını hesaplayalım. Önce her vakit 1 yazılır. Sonra 9 ile 4 ün toplamı daha sonra 9 ile ün çarpımı yazılır. Cevap: 11336 Örnek2: 101*127=? Önce 1 sonra 1 ile 27 toplamı en sonunda ise 1 ile 27’nin çarpımı yazılır ve yanıt 12827 olur. Kural 12 Sonu 1 veya 9 ile biten bir sayının karesi: 212= 202 (20 21) 312= 302 (30 31) 192= 202-(20 19) 392= 402–(40 39) Kural 13 Bir sayının 5 ile çarpımı Bir sayıyı 5 ile çarpmak için 10 ile çarpıp yarısını almak yeterlidir. Örneğin, 42 ile 5 i çarpmak yerine 420 sayısını ikiye böler cevabı 210 buluruz. Kural 14 Tek sayıların toplamı 1=12 1 3= 22 1 3 5= 32 1 3 5 7= 42 1 3 5 7 9= 52 1 3 5 7 9 11= 62 Kural 15 Sonu 5 ile biten sayıların karesi (b5)2 = b*( b 1 ) | 25 Sonu beş ile biten sayıların karesini bulmak için yirmi beş yazar, önüne bu sayının onlar basamağındaki sayısı ile onun bir fazlasının çarpımını yazarız. Örnekler: 352 = 3*(3 1) | 25 = 3*4 | 25 = 1225 652 = 6*7 | 25 = 4225 852 = 8*9 | 25 = 7225 1052 = 10*11 | 25= 11025 Kural 16 Sonu 4 ile biten sayıların karesiÖrnek: 642 =?İlk olarak bu sayının 1 fazlasının karesi bulunur. Yani(64 1)2=652=4225 (bunu bulmayı kısa yoldan biliyoruz).Sonra 64 65=129. Son olarak 4225- 129=4096. Yani 642= 4096 Kural 17 Sonu 6 ile biten sayıların karesiÖrnek1: 762=?Önce 1 eksiğinin karesi alınır.752=5625.Sonra 76 75=151. Son olarak 5625 151=5776 bulunur.Örnek2: 712=?(71- 1)=70702=490070 71=1414900 141=5041 Kural 18 a) 11 ile tüm rakamları 1 olan k basamaklı bir sayı çarpıldığında sonuç 1 ile baslar ve 1 ile biter 1’ler arasında k-1 tane 2 vardır. Örnekler:11×11111(5basamaklı)=12222111×11111111(8b asamaklı)=122222221 b)Yine tüm rakamları 1 ve basamak sayıları eşit olursa yan yana 1’lerin karesi yani 11111×11111 gibi sayı kaç basamaklıysa o kadar 123…. diye yazılır sonra yine geriye doğru inilirÖrnekler:1111×1111(4basamaklı)=1234321111111 1×1111111(7basamklı)=1234567654321 c)Rakamlarının hepsi 1 ama basamak sayıları eşit olmadığında basamak sayısı az olanın basamak sayısı kadar 123… yazılır sonra iki sayının basamak sayıları farkı kadar hangi rakamda kalınmışsa yine edilir ve yine 1’e dönülür Örnekler:111(3basamklı)x111111(6basamaklı)= 12333321 (basamak farkları 3 tane olduğu için 3 tane daha 3 yazılır)11111(5basamklı)x11111111(8basamaklı)=1234 55554321 Cosx cos6x cos11x———————– = BÖyle İfadelerdeSİnx sİn6x sİn11x En Soldakİ İle En SaĞdakİnİn Toplaminin Yarisi Ortadakİnİ Verİyor İse Yanİ X 11x=12x/2=6x Ortadakİnİ Verİyor İse Yanliz Hem Pay Hemde Payda İÇİn Uygulamak Gerekİr SonuÇ Ortadakİlerİn OranidirYanİ Cos6x——-Sİn6x Tİr İsteyen ArkadaŞlarda Uzun Yoldan Yapabİlİr Bu Kaide 4tane Ard Arda Olanlar İÇİnde GeÇerlİ Yanİ Sİn10 sİn20 sİn30 sİn40——————————-=Cos10 cos20 cos30 cos40 Yanliz Bundada ŞÖyle Yapmak Gerekİyor En SaĞ Ve En Soldakİlerİn Toplami Ortadakİlerİn Toplamini Verİyor İse Yanİ 10 40=50 20 30=50 Yanİ Bİrbİrİne EŞİt Oluyor İse Ortadakİlerİn Toplaminin Yarisi Orani Vardir Yanİ SonuÇ Sİn25——-Cos25 Tİr MATEMATİK – İlginç Sayılar 12.345.679 * 9 =111.111.11112.345.679 * 18 =222.222.22212.345.679 * 27 =333.333.33312.345.679 * 36 =444.444.44412.345.679 * 72 = 888.888.88812.345.679 * 81 = 999.999.999 ARTIK RAKAMLARI 1 OLAN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK KOLAY 12= 1112= 1211112= 1232111112= 1234321111112= 1234543211111112= 1234565432111111112= 1234567654321{7 tane 1} tek sayıların toplamı1=121 3= 221 3 5= 321 3 5 7= 421 3 5 7 9= 521 3 5 7 9 11= 62 6 tek sayının toplamı BAK ŞU İŞE 1 2= 34 5 6= 7 89 10 11 12= 13 14 1516 17 18 19 20= 21 22 23 24 BAK ŞU SAYILARA 4913=(4 9 1 3)35832=(5 8 3 2)319683=(1 9 6 8 3)317576=(1 7 5 7 6)3390265=(3 9 0 6 2 5)4234256=(2 3 4 2 5 6)4 İLGİNÇ EŞİTLİKLER 25.92 = 259213 53 33=15333 73 13=371 BUNLARIDA İNCELEYİN… (2 3 4 2 5 6)^4 =234256 (5 2 5 2 1 8 7 5)^5 = 52521875 153 = 1^3 5^3 3^3 371= 3^3 7^3 1^3 135 = 1*3*5*(1 3 5) 144 = 1*4*4*(1 4 4) 8833 = 88^2 33^2 37 3*7 = 3^2 7^2 37*(3 7) = 3^3 7^3 (1^5 2^5 3^5 … n^5) (1^7 2^7 3^7 … n^7) = 2*(1 2 3 … n)^4 1^n 6^n 7^n 17^n 18^n 23^n= 2^n 3^n 11^n 13^n 21^n 22^n (n=1, 2, 3, 4, 5 olabilir) 1*8 = 8 (0 8 = 8 ) 2*8 = 16 (1 6 = 7) 3*8 = 24 (2 4 = 6) 4*8 = 32 (3 2 = 5) 5*8 = 40 (4 0 =4) 6*8 = 48 (4 8 = 12 ve 1 2=3) 7*8 = 56 (5 6 = 11 ve 1 1 =2) 8*8 = 64 ( 6 4 = 10 ve 1 0 = 1) 6*2 = 12 6*3 = 18 6*4 = 24 6*5 = 30 6*6 = 36 6*7 = 42 6*8= 48(1 2 = 3) (1 8 = 9) (2 4 = 6) (3 0 = 3) (3 6 = 9) (4 2 = 6) (4 8 = 12 ve1 2 = 3) Gördüğünüz gibi rakamlar toplamı 3, 9, 6 şeklinde devam ediyorve daha büyük sayılar için de bu kaide geçerli