MATEMATiK PARADOKSLARI
Dogru Parçasi Paradoksu:
Önce dogru parçasinin tarifini yapalim:
Dogru Parçasi: Baslangici ve sonu olan ve ebedi adet noktadan olusan dogru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kagida biraktigi en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanin boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks basliyor:
Noktanin boyutu olmadigina göre iki noktanin yanyana gelmesi birsey anlatım etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiginde herhangi bir sekil olusturmaz.( Çünkü sekil olusturmasi için lüzumlu olan ebat özelligini saglamiyor) Bu suna eş ki; sifir ile sifirin toplami tekrar sifirdir. Milyarlarca sifiri toplasak 'yarim' dahi etmez. O halde dogrunun taniminda bir hata var. Çünkü ebedi adet noktanin yanyana gelmesi birsey anlatım etmez! Noktanin çok çok az da olsa boyutu oldugunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanin tarifi hatali olur.
Noktayi boyutlu kabul edelim. Karsimiza bir paradoks daha çikar; dogru parçasinda ebedi adet nokta olduguna göre dogru parçasinin da uzunlugu ebedi olmalidir. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir seyden ebedi adedi yanyana gelirse ebedi uzunluk olur.

2 2=5 ?
X = Y ................................................ol sun
X² = X.Y............................................esi tligin her iki tarafini 'X' ile çarptik.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çikardik.
(X Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafi çarpanlara ayirdik, sag tarafi 'Y' parantezine aldik.
( X Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadelesti.
X X = X..........................................X = Y oldugundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladik.
2 = 1 ................................................'X ' ler sadelesti.
3 2 = 1 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4................................................. .buradan,
5 = 2 2.......................................'4'ü, '2 2' seklinde yazdik. HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:
George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayisi, soylu kümeden daha fazladir. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?
"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanidir. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:
2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:
card(2ª) card(a)................1
Çünkü alt kümelerin kardinali soylu kümelerden küçüktür veya esittir. Ancak Cantor Teoremine göre:
card(2ª) > card(a)...................2
olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.

Karisim Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kasik sütten aliyoruz ve kahve fincanina döküyoruz. iyice karistirip oradan da bir kasik aliyoruz ve süte döküyoruz. simdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladir?
Cevap sasirtici gelebilir ama karisim oranlari esittir. iste ispati:
Kabul edelim ki karisimimiz homojen olmasin. Meselâ kahveye kattigimiz süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldigimiz miktar tabi ki sütten aldigimiza esit olacaktir. Veya:
ilk karisimdan sonra kasigimizin yarisi süt, yarisi da kahve olsun. Bu sefer tekrar sütte yarim kasik kahve, kahvede yarim kasik süt bulunacaktir. Veya:
ilk karisim homojen olsun. Aldigimiz bir kasik karisimin % 90 ini kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmistir. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracagindan karisim oranlari esit olur.

Bütün Sayilar Esittir Paradoksu:
a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:
a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.
a²-2ab b²=ac-bc...............................parantezleri açtik.
a²-2ab b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.
a=b............................................... .....(a-b-c) ler sadelesti. (2 2=5 Paradoksunun benzeri)

Karisik Bir Hesap:
iki çocuk ayri ayri kalem satmaktadirlar. Her ikisinin de 30'ar adet kalemi vardir. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; digeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. ilki 30 kalemden 100 TL, digeri de 150 TL kazanir. ( Yekün 250 TL.) Ertesi gün tekrar 30'ar kalemle evlerinden çikarlar. Yolda karsilastiklarinda biri digerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalim. 60 (30 30) kalemin 5 (2 3) tanesini 20 (10 10)TL'ye satalim. Kazandigimiz parayi da paylasiriz. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanirlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayri ayri satis yaptiklarinda yekün 250 TL kazaniyorlardi. Beraber sattiklarinda sebep 10 TL ziyan ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpilirsa:
2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayisi ile,
1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:
Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtir!"
Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayida kuzgun görüp, hepsinin de kara oldugunu tesbit ederek,
b) Kara olmayan seylerin, ayni zamanda kuzgun da olmadigini görerek.
Bilinen su ki çok sayida kara kuzgun ve tekrar çok sayida kara olmayan, ayni zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Kara olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayiz. Kirmizi cisimler için bu uygulama yapilmamissa "bazi kuzgunlar kirmizi " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarim" in itibarini sarsmistir.

Arnauld Paradoksu:
Herkes bilir ki;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) ¹ (Küçük Sayi / Büyük Sayi) dir.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayilar bu kurali bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)
Ayrica;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayilar için kaide ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1
Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantiksiz geldigi için negatif sayilarin olmadigina hükmetti.






Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulundugu köydeki erkeklerden, yalnizca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?
Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildigi için tanima aksi düsecek. Baskasi tras etse; o kisi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:
1970 yilinda 98 yasinda ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varim. Odada kaç kisiyiz?" Cevap:
"Bir kisiyiz. Çünkü ben, ayni zamanda papayim"
Russel'in "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çesit küme var:
a) Kendisinin elemani olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemani olmayan kümeler.
simdi, "Kendisinin elemani olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemani midir?